Warmtepijpvergelijking - Wikipedia

Model van een verwarmingspijp die op verschillende tijdstippen wordt afgekoeld via een metalen afvoer

De Verwarmingspijpvergelijking of Diffusievergelijking is een gedeeltelijke differentiaalvergelijking om de warmtegeleiding te beschrijven. Het is het typische voorbeeld van een parabolische differentiaalvergelijking, beschrijft het verband tussen de tijdelijke en de ruimtelijke verandering in de temperatuur op één plaats in één lichaam en is geschikt voor het berekenen van onstabiele temperatuurvelden. In het ene -dimensionale geval (zonder warmtebronnen) staat dat de (tijdelijke) afleiding van de temperatuur het product is van de tweede ruimtelijke afleiding en temperatuurgeleidbaarheid. Dit heeft een levendig belang: als de tweede ruimtelijke afleiding op een plaats ongelijk nul is, verschillen de eerste afleidingen kort voor en achter deze plaats. Volgens de Fourier -wet verschilt de warmtestroom die naar deze plek stroomt van degene die er vanaf wegstrekt. Dus de temperatuur op deze locatie moet in de loop van de tijd veranderen. Wiskundig zijn thermische pijpvergelijking en diffusievergelijking identiek, in plaats van temperatuur- en temperatuurgeleidbaarheid, concentratie en diffusiecoëfficiënt treden op. De thermische pijpvergelijking kan worden afgeleid van de energiebesparing en de wet van de Fourier van warmtegeleiding. De fundamentele oplossing van de warmtepijpvergelijking zal zijn Warmtepijpkern genaamd.

Homogene vergelijking [[ Bewerking | Bewerk de brontekst ]

In homogene media is de thermische pijpvergelijking

${DisplayStyle {frac {partial} {partial t}} u ({vec {x}}, t) -Adelta u ({vec {x}}, t) = 0,}$

waardoor ${DisplayStyle u ({vec {x}}, t)}$De temperatuur op het punt ${DisplayStyle {vec {x}}}$destijds ${DisplayStyle t}$,, ${DisplayStyle Delta}$De Laplace -operator met betrekking tot ${DisplayStyle {vec {x}}}$En de constante ${DisplayStyle A> 0}$De temperatuurgeleidbaarheid van het medium is.

In wiskundige literatuur wordt de diffusiviteitsconstante vaak uitgegeven met ${DisplayStyle a}$, dat wil zeggen, je hebt ingesteld ${DisplayStyle A = 1}$En kijk naar de compacte vergelijking

${DisplayStyle {frac {partial u} {partial t}} = delta u.}$

In het intramurale geval, als de tijdslimiet ${DisplayStyle {Tfrac {Partial U} {Partial T}}}$is nul, de vergelijking gaat in de Laplace -vergelijking ${DisplayStyle Delta U = 0}$boven.

Een vaak gebruikte vereenvoudiging houdt rekening met slechts één kamerdimensie en beschrijft bijvoorbeeld de tijdelijke verandering in de temperatuur in een dunne, relatief lange stok gemaakt van vast materiaal. Dit maakt de Laplace -operator een eenvoudige tweede afgeleide:

${DisplayStyle {frac {partial} {partial t}} u (x, t) -a {frac {partial ^{2}} {partial x ^{2}}} {u (x, t)} = 0}$

Niet -homogene vergelijking [[ Bewerking | Bewerk de brontekst ]

In de media met extra warmtebronnen (bijv. Via Jousche warmte of een chemische reactie), is de toenmalige inhomogene thermische pijpvergelijking is

${DisplayStyle {frac {partial} {partial t}} u ({vec {x}}, t) -Adelta u ({vec {x}}, t) = f ({vec {x}}, t),}$

Waar de rechterkant ${DisplayStyle f}$Het quotiënt van volume -gerelateerde warmtebrondichtheid (de hoeveelheid warmte geproduceerd per volume en tijd) en de volume -gerelateerde warmtecapaciteit (het product van dichtheid en massa -gerelateerde warmtecapaciteit) is. In het intramurale geval, als de tijdslimiet nul is, gaat de vergelijking door naar de Poisson -vergelijking.

De warmtebalans op een klein volume -element (volume ${DisplayStyle v}$) beschouwd. In een gesloten systeem dat geen volumewerk doet, blijft de beschikbare energie in het systeem bewaard in overeenstemming met de eerste hoofdsnelheid van de thermodynamica en het is van toepassing ${DisplayStyle du = delta q}$. De continuïteitsvergelijking voor interne energie kan dus worden geschreven als:

${DisplayStyle {frac {partial q} {partial t}}+{vec {nabla}} cdot {vec {q}} = 0}$,,

waardoor ${DisplayStyle delta q = {tfrac {delta q} {v}}}$de verandering in de thermische dichtheid en ${DisplayStyle {Thing {q}} = -lambda {ding {nabla}} t}$Met de thermische geleidbaarheid ${DisplayStyle Lambda}$De warmtestroomdichtheid is.

Met de verbinding met de warmtecapaciteit ${DisplayStyle C}$of de specifieke warmtecapaciteit ${DisplayStyle C}$boven

${DisplayStyle q = ct = cmt}$

Met de mis ${DisplayStyle m}$en volgens de volume -gerelateerde grootte

${DisplayStyle Q = Crho T}$

Met de dichtheid ${DisplayStyle rho}$De veronderstelling dat er geen massatransport of warmtestralingsverliezen zijn, evenals de homogeniteit van het materiaal:

${DisplayStyle CRHO {FRAC {PARTIAL T} {PARTIAL T}}-{VEC {Nabla}} CDOT (Lambda {Vec {Nabla}} T) = Crho {Frac {Partial T} {Partial T}-Lambda Delta T = 0}$.

Met de temperatuurgeleidbaarheid ${DisplayStyle a = {tfrac {lambda} {rho c}}}$volgt de bovenstaande vergelijking

${DisplayStyle {FRAC {Partial T} {Partial T}}-ADELTA T = 0}$.

Fundamentele oplossing [[ Bewerking | Bewerk de brontekst ]

Een speciale oplossing voor de thermische buisvergelijking is de zo -aangedane fundamentele oplossing van de thermische buisvergelijking. Dit is met een dimensionaal probleem

${DisplayStyle h (x, t) = {frac {1} {sqrt {4pi at}}} exp links (-{frac {x^{2}} {4at}}}}}}$

En met één ${DisplayStyle n}$-dimensionaal probleem

${DisplayStyle H ({vec {x}}; t) = {frac {1} {(4pi at)^{n/2}}} exp links (-{frac {| {vec {x}} |^{2}} {4at}}}}}}}}}}}}}},},}$

waardoor ${DisplayStyle Text Style | {Vec {X}} |^{2} = Sum _ {k = 1}^{n} x_ {k {2}}$Het vierkant van de Euclidische standaard van ${DisplayStyle {vec {x}}}$is.

${DisplayStyle H}$staat ook bekend als Warmtepijpkern (of Engl. warmtepit ) toegewezen. De functionele vorm komt overeen met die van een normale verdeling van Gauß ${DisplayStyle Sigma ^{2} = 2at}$.

Oplossingsformule voor het homogene cauchy -probleem [[ Bewerking | Bewerk de brontekst ]

Met behulp van de fundamentele oplossing van de hierboven gespecificeerde thermische buisvergelijking, kunt u een algemene oplossingsformule opgeven voor het homogene cauchy -probleem van de thermische pijpvergelijking. Om dit te doen, wordt verstrekt voor gegeven initiële gegevens ${DisplayStyle U_ {0}}$Momenteel ${DisplayStyle t = 0}$Bovendien is de initiële toestand

${DisplayStyle Forall {vec {x}} in Mathbb {r} ^{n}: u ({vec {x}}, t = 0) = u_ {0} ({vec {x}})}$

in de vorm van een delta -verdeling. De oplossing ${DisplayStyle u ({vec {x}}, t)}$Het homogene initiële probleem wordt verkregen voor ${DisplayStyle t> 0}$Door de fundamentele oplossing te vouwen ${DisplayStyle H}$Met de gegeven eerste gegevens ${DisplayStyle U_ {0}}$:

${DisplayStyle u ({Thing {x}}, t) = (H*u_ {0}) ({Thing {x}}, t) = int _ {Mathbb {r}}} h ({x}}-{Thing {y}, t) u {y}}}}}}$

Oplossingsformule voor het inhomogene cauchy -probleem met nul begin [[ Bewerking | Bewerk de brontekst ]

Voor het inhomogene initiële waardeprobleem met nul begin ${DisplayStyle U_ {0} ({vec {x}}) = 0}$Als we de homogene zaak ontvangen door de fundamentele oplossing te vouwen ${DisplayStyle H}$Met de gegeven rechterkant ${DisplayStyle f}$De differentiaalvergelijking als oplossingsformule:

${DisplayStyle u ({vec {x}}, t) = (h*f) ({vec {x}}, t) = int _ {0} ^{t} int _ {mathbb {r} ^{n}} h ({vec {vec}}}}}-{vec}, s) , d {vec {y}}, ds}$

Algemene oplossingsformule [[ Bewerking | Bewerk de brontekst ]

The solution formula for the inhomogeneous cauchy problem with any initial data is obtained due to the linearity of the heat pipe equation by adding the homogeneous cauchy problem with the solution of the inhomogeneous cauchy problem with zero beginnings, so overall: overall:

${Displaystyle u ({thing {x}}, t) = int _ {jbb {r} {n}} {Mathbb {r} {n}} h ({thing {x}}-{thing {y}}, t-s) f ({thing {y}}, s), d {thing {y}}, ds}$

Meer oplossingen [[ Bewerking | Bewerk de brontekst ]

In sommige gevallen kunt u oplossingen voor de vergelijking vinden met behulp van de symmetrie -aanpak:

${DisplayStyle u (x, t) = fleft ({frac {x} {sqrt {at}}} rechts)}$

Dit leidt tot de volgende gewone differentiaalvergelijking voor ${DisplayStyle f}$:

${DisplayStyle xi f^{prime} (xi) = -2f^{prime prime} (xi)}$

Een andere -dimensionale oplossing is

${DisplayStyle u (x, t) = sin links (2c^{2} at-xcright) exp (-cx),}$

waardoor ${DisplayStyle C}$is een constante. Het kan worden gebruikt om het warmteopslaggedrag te modelleren als een object (met een tijdelijk sinusvormige temperatuur) wordt verwarmd.

Maximumprinzip [[ Bewerking | Bewerk de brontekst ]

Oplossing van een twee -dimensionale warmtepijpvergelijking

Misschien ${DisplayStyle u}$Een functie die de temperatuur van een vaste stof aangeeft, afhankelijk van de locatie en tijd, d.w.z. ${DisplayStyle u = u (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, t)}$. ${DisplayStyle u}$Het is tijd -afhankelijk omdat de thermische energie zich in de loop van de tijd over het materiaal verspreidt. De fysieke natuurlijkheid die warmte niet uit het niets ontstaat, wordt wiskundig weerspiegeld in het maximale principe: de maximale waarde (na verloop van tijd en ruimte) wordt de temperatuur aangenomen aan het begin van het tijdsinterval dat wordt overwogen of aan de rand van het kamergebied dat wordt overwogen. Deze eigenschap is meestal van toepassing op parabolische partiële differentiaalvergelijkingen en kan gemakkelijk worden bewezen.

Eigenschap afvlakken [[ Bewerking | Bewerk de brontekst ]

Een andere interessante kwaliteit is dat zelfs als ${DisplayStyle u}$destijds ${DisplayStyle t = t_ {0}}$heeft een incitbaarheidspunt, de functie ${DisplayStyle u}$altijd ${DisplayStyle t> t_ {0}}$is stabiel in de kamer. ^[Eerst] Dus als twee metalen stukken verschillende temperatuur ${DisplayStyle t = t_ {0}}$Om stevig verbonden te worden, zal de gemiddelde temperatuur plotseling (na deze modellering) op het aansluitpunt ingesteld en de temperatuurcurve gestaag door beide werkstukken loopt.

• Gerhard Dziuk: Theorie en aantal gedeeltelijke differentiaalvergelijkingen. The Gruyter, Berlin 2010, ISBN 978-3-11-014843-5, S. 183-253.
• Lawrence C. Evans: Gedeeltelijke differentiaalvergelijkingen. Herdrukt met correcties. American Mathematical Society, Providence RI 2008, ISBN 978-0-8218-0772-9 ( Afgestudeerde studies in wiskunde 19).
• John Rozier kanon: De ene -dimensionale warmtevergelijking. Addison-Wesley Publishing Company/ Cambridge University Press, 1984, ISBN 978-0-521-30243-2.

1. ↑ Lawrence C. Evans: Gedeeltelijke differentiaalvergelijkingen . American Mathematical Society, 1998, ISBN 0-8218-0772-2, S. 49 .